La onda gravitacional en 5D

2. Las dimensiones de la onda gravitacional en la Relatividad General.Aunque, en la Relatividad General se dice que las ondas gravitacionales son ondulaciones del espaciotiempo que se propagan en todas las direcciones, realmente son ondas gravitacionales del espacio.

Según una ley matemática de los espacios N dimensionales si sale de su N, en una dirección k contenida en N+1 entonces genera el continuo N+1.

En N>1 es posible producir variaciones internas que generan configuraciones geométricas alternativas Na. de una configuración existente que se conserve en sus N dimensiones. Pero si todas o la mayorías de las dimensiones de N varían entonces se convierte en N+1.

En el caso de la Relatividad General la onda gravitacional resulta de una variación interna del espaciotiempo pues sólo las dimensiones X,Y varían.

3. La onda gravitacional en la Relatividad General. Para todo N existe el tensor (0,2). Esta función toma como entrada 2 vectores tangentes, U, V, en el punto P, de N y devuelve como salida un número que depende linealmente de cada entrada U, V. Éste es el tensor métrico que permite medir ángulos y distancias.

En relatividad el espaciotiempo es el conjunto de todos los eventos en el Universo que existe en 4D.

El tensor métrico permite calcular la longitud S entre dos eventos del espaciotiempo según: dS2 = -c2dt + dX2 + dY2 + dZ2

Este valor S es un invariante. Si S varía es debido a las oscilaciones que suceden en la dimensiones X,Y del espaciotiempo que generan configuraciones alternas de este.

S se puede expresar como el producto interno del vector base X en la dirección Xμ y del vector base X en la dirección Xν según: dS2 = ημνdXμdXν

ημνes el tensor métrico de Minkowski:

-1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

S es el valor de la longitud, entre dos eventos en el espaciotiempo plano, en la ausencia de la gravedad.

Este espaciotiempo plano está caracterizado por la métrica de Minkowski ημν

En la relatividad general un campo gravitacional estático débil se describe por medio de una aproximación lineal donde se modifica la métrica del espaciotiempo plano según: S2 = gμνdXμdXν, donde: gμν= (ημν+ hμν) hμν | << 1 y hμν es la perturbación de la gravitación en la métrica plana del vació.

Así, la onda gravitacional son oscilaciones de la métrica del espaciotiempo plano vacío modificado linealmente de acuerdo a hμν , llamada gravedad linearizada.

En la gravedad linearizada la ecuación de la onda gravitacional es:

Si la onda gravitacional viaja en la dirección Z, entonces el tensor métrico cambia en las coordenadas X, Y. Esta es la variación interna, en la longitud del intervalo del espaciotiempo, que es causada por la onda gravitacional.

La onda gravitacional tiene la polaridad + cuando está perfectamente alineada con el eje X o el eje Y. Para polaridad + hμν es:

0 0 0 0

0 ٤ 0 0

0 0 -٤ 0

0 0 0 0

En la expresión linearizada del campo gravitacional estático se tiene que:

hμν desplaza el eje X en el lapso (X, X+ε) y el eje Y en el lapso (Y, Y-ε).

-hμν desplaza el eje X en el lapso (X, X- ε) y el eje Y en el lapso (Y, Y+ε).

Así, en la expresión lineal de la onda gravitacional, durante la oscilación se tiene que:

± hμν hace oscilar el eje X en el lapso (X-ε, X+ε) y el eje Y en el lapso (Y-ε, Y+ε).

Por lo tanto, la onda gravitacional se puede ver como la oscilación de los dos ejes ortogonales X-eje y Y-eje, del espaciotiempo plano, distorsionados por hμν que se propaga en la dirección Z en el 4D (-ct,X,Y,Z) similar a la onda electromagnética, pero la onda gravitacional son oscilaciones de dimensiones geométricas curvas.

4 La onda gravitacional en 5D. Un sistema binario de estrellas pierde su energía del enlace orbital por radiación que la onda gravitacional transporta. Esta energía perdida es la causa que la separación orbital entre ellas disminuya, y el período orbital decae. Esto causa coalescencia de las estrellas y la extinción de la energía del campo del enlace orbital.

En el pulsar binario PSR1913+16 su período orbital disminuye a la tasa de -2.40247 × 10-12 segundo/ segundo.

La radiación gravitacional es solamente la pérdida de energía de enlace orbital en los cambios entre la energía gravitacional potencial y la energía cinética, sin que intervenga la energía-masa del pulsar binario.

Los pulsares binarios son altamente relativistas a causa de su velocidad orbital que en el PSR1913+16 es 0,1c. Además, los pulsos de los sistemas binarios son como el tic-tic de un reloj, con lapso variable.

El cambio del lapso del tic-tic es predicho por la Relatividad y las pulsares sirven para medir el cambio en la dimensión del tiempo. Hulse y Taylor han medido el cambio del lapso del tic-tic durante el paso orbital de las estrellas del periastrón al apastrón.

Durante el período orbital, la intensidad del campo de la gravedad y la velocidad orbital del apastrón hasta periastrón crecen y de periastrón hasta apastrón disminuyen. Su efecto en la pulsar-reloj es que el tiempo, t, lapso del tic-tic, del apastrón hasta periastrón se contrae y de periastrón hasta apastrón se dilata, en la magnitud exacta como Einstein predijo.

Durante el período orbital, la energía potencial, del campo de la gravedad, en función de la distancia, del periastrón al apastrón crece y del apastrón al periastrón disminuye. Pero, la energía cinética, en función de la velocidad, del apastrón al periastrón crece y del periastrón al apastrón disminuye. Así, la relación entre la energía potencial y la energía cinética es inversa y durante el período orbital se intercambian, según a la disminución de la energía potencial corresponde el aumento de la energía cinética y viceversa. Sin embargo, la energía del enlace orbital total de un pulsar binaria seguiría constante según la ley de la conservación de la energía pero disminuye por la radiación gravitacional.

La energía gravitacional se irradia durante todo el período orbital y en todos los puntos del espaciotiempo local donde existe el campo de la energía de enlace orbital. El cambio instantáneo de la energía de enlace orbital, dE/dt, depende de la radiación gravitacional puntual. El índice del cambio, TSab = (dEa/dt )/(dEb/dt), del período orbital tiene un comportamiento oscilatorio puesto que entre el apastrón-periastrón TSab<1 y entre el periastrón-apastrón TSab>1.

TSab oscila porque está en la relación directa de los cambios en la pérdida de energía del enlace orbital entre los puntos del campo. dE/dt entre el apastrón-periastrón crece por la radiación puntual gravitacional en aumento durante la aceleración de la velocidad orbital, en el campo gravitacional progresivamente fuerte. Pero dE/dt entre el periastrón-apastrón disminuye por la radiación puntual gravitacional en disminución por la desaceleración de la velocidad orbital, en el campo gravitacional progresivamente débil. Así la radiación gravitacional está en la relación directa con el momento de la inercia, I, y de la velocidad orbital según la ecuación de Einstein del quadrupolo momento: dE / dt ≈ -G / 5c5 (d3 I / dt3)2 ≈ -G / 5c5 (d3 Qab / dt3)2 .. Así la energía de enlace orbital puntual cambia según una función seno.

La energía de enlace orbital es un componente de la densidad total de la energía del sistema binario y en los términos de la gravedad la radiación es muy importante puesto que la energía de enlace orbital es la fuente total de las ondas gravitacionales.

La densidad total de la energía, del campo orbital de la energía, disminuye en la dirección del tiempo, y la oscilación en el índice del cambio de la magnitud de la pérdida de la energía orbital durante el período orbital causará la oscilación de la densidad de la energía en la dirección del tiempo. Esta oscilación se transmite al tensor métrico Gαβ de acuerdo con la ecuación de Einstein Gαβ = 8ЛG/c2Tαβ .

La oscilación de la densidad de la energía, - T00 , del tensor de la tensión-energía, Tαβ, cause la oscilación del coordenada -ct, del tensor métrico Gαβ. La radiación gravitacional, -T00, es la energía orbital por evento del espaciotiempo similar a como el campo eléctrico estático contribuye a T00 en el espacio vacío. Así, la coordenada -ct oscila dentro del lapso -(ct-ε, ct+ε ).

Hulse y Taylor descubrieron y midieron la oscilación del tiempo en la pulsar PSR B1913+16. La magnitud de la pérdida de la energía orbital está en la relación directa a la contracción-dilatación del tiempo puesto que si TSab < 1 entonces el tiempo se dilata y si TSab > 1 entonces el tiempo se contrae.

Dentro de la región local, de una fuente de gravitación, a través de un determinado evento del espaciotiempo, los componentes de la diagonal del Tαβ dan las cantidades de densidad de la energía, σ, y de las presiones Px, Py, Pz que fluyen de la dirección α en la dirección β, donde σ, β = -ct, X, Y, Z.

Según el modelo de la gravedad linearizada gμν = (ημν + hμν) hμν | << 1, en una región asintótica del espaciotiempo vacío para la polaridad +, hμν es:

٤ 0 0 0

0 ٤ 0 0

0 0 -٤ 0

0 0 0 0

hμν desplaza el eje -ct en el lapso -(ct, ct+ε), el eje X en el lapso (X, X+ε ) y el eje Y en el lapso (Y, Y+ε ).

- hμν desplaza el eje -ct en el lapso -(ct, ct-ε), el eje X en el lapso (X, X-ε ) y el eje Y en el lapso (Y, Y-ε ).

Entonces

± hμν hace para oscilar el eje -ct en el lapso -(ct-ε, ct+ε), el eje X en el lapso (X-ε, X+ε ) y el eje Y en el lapso (Y-ε, Y+ε ).

La onda gravitacional linealizada son las oscilaciones de los tres ortogonal ejes ct, X, Y, del espaciotiempo, distorsionados por hμν, que se propaga en toda dirección Z en 5D (-ct, U, X, Y, Z).

6 Conclusiones. La relatividad general considera en 4 dimensiones el efecto geométrico de la onda gravitacional en cinco dimensiones.

La onda gravitacional no es posible descubrirla ni medirla experimentalmente puesto que a partir de cuatro dimensiones es físicamente imposible acceder a la quinta dimensión.